Ou pourquoi rien n’est vrai ?

Si ces questions vous choquent, c’est que vous avez encore l’illusion que, même si vous ne détenez pas toute la vérité, vous en avez au moins acquis une partie au cours de votre existence.

Si tel est le cas, ce qui va suivre risque d’être déroutant…

Puisque vous êtes tant attaché à la vérité, allons voir sa définition.

I. Le jeu du dictionnaire

Vérité : “Connaissance conforme au réel”

Donc la vérité est liée au réel, mais qu’est-ce que le réel au juste ?

Réel : “Qui existe en fait”

Ainsi, le réel fait référence à l’existence, mais concrètement, que signifie exister ?

Exister : “Avoir une réalité.”

Et si la boucle n’est pas déjà assez claire :

Réalité : “Caractère de ce qui est réel, de ce qui existe effectivement”

Et voilà un Ouroboros, ou un serpent qui se mord la queue, ou une boucle infinie. Appelez-le comme vous le voulez, le résultat est le même : vous tournez en rond indéfiniment.

Ouroboros

Vous voulez un autre ticket ?

Table ⇨ meuble ⇨ objet ⇨ chose ⇨ réalité concrète ou abstraite ⇨réel ⇨ exister ⇨ réalité ⇨ réel 🔄

Et c’est reparti pour un tour dans une boucle infinie.

D’ailleurs, je veux bien prendre le pari que vous pouvez prendre n’importe quel mot dans le dictionnaire et que vous finirez éventuellement dans cette boucle infinie.

Ce qui peut se résumer par la tautologie suivante : “Ce qui est, est”

En ayant vu cela, il semble surprenant que l’on soit capable de penser rigoureusement et d’exprimer des paroles sensées. Enfin, est-on vraiment capable d’un tel exploit, ou n’est-ce qu’illusion ?

II. Le trilemme d’Agrippa

Si vous cherchez à prouver n’importe quel “vérité” (si tant est que cela ait un sens) et que vous examinez sincèrement votre argument, vous vous rendrez compte qu’il est soit :

Circulaire : vous justifiez votre argument par… votre argument.

Une régression à l’infini : votre argument repose sur un argument qui repose sur argument, et ce, à l’infini.

Dogmatique ou transcendant : comme la régression à l’infini, sauf qu’à un moment, vous vous arrêtez et vous dites : “Ça, c’est vrai, je n’ai pas besoin d’argument pour le prouver et un point c’est tout”.

Une jolie légende raconte merveilleusement bien la régression à l’infini.

Après une conférence traitant de cosmologie et du système solaire, le discours du conférencier est remis en cause par une vieille dame.

“Monsieur, votre théorie stipulant que le soleil est au centre de l’univers, et que la terre est une boule ronde qui tourne autour, est presque convaincante. Mais tout cela est faux, et j’ai une bien meilleure théorie.”

“Ah bon ? Dans ce cas, je vous en prie, faites-moi part de votre théorie.”

“Ma théorie est qu’en vérité, on vit sur croûte de terre que repose sur le dos d’une tortue géante.”

Le conférencier, ne voulant pas démonter brutalement la théorie complètement absurde de la vieille dame, décide de rentrer dans son jeu.

“Mais, et je n’en doute pas une seconde, si votre théorie est correcte, sur quoi repose la tortue géante ?”

“Votre question prouve que vous êtes un homme très intelligent. Mais la réponse est simple, la première tortue se tient sur une seconde tortue, bien plus grande que la première.”

Agacé, le conférencier répond,

“Si je vous demande sur quoi repose cette seconde tortue, j’imagine que vous allez me répondre qu’elle se tient sur une autre tortue plus grande. Alors, coupons ces enfantillages et dites-moi sur quoi repose la dernière tortue ?”

La vieille dame sourit et répond tranquillement, “Monsieur, je crois que vous n’avez pas compris. Ce sont des tortues jusqu’en bas”

Tortues

Cette façon de ranger chaque preuve dans l’une de ces trois catégories est appelée le trilemme d’Agrippa (Agrippa le sceptique était un philosophe grec qui vécut vers la fin du 1er siècle après J.-C.), ou appelé le trilemme de Münchhausen, en référence au baron du même nom, connu pour ces histoires toutes plus absurdes les unes que les autres. Et notamment une, dans laquelle, il prétend être parvenu à se sortir lui et son cheval des sables mouvants (tenez-vous bien) en se soulevant par les cheveux.

(De quelle sorte est cet argument ?)

Münchhausen

III. La vérité en mathématiques

Il est intéressant de regarder comment sont construits les domaines d’études humains, et il semble qu’ils sont tous fondés sur un argument dogmatique ou transcendant.

Prenons par exemple la théologie, qui est l’étude du divin et donc de dieu. Or Dieu est généralement défini comme “principe premier” ou “cause première”. C’est la définition même d’un argument transcendant (et en fait, c’est plus ou moins vers quoi pointe l’idée de transcendance).

Les mathématiques n’échappent pas à la règle.

Les mathématiques sont construites et développés à partir d’axiomes. Et la définition d’un axiome est précisément : “Proposition considérée comme évidente, admise sans démonstration”.

Ainsi, ces axiomes sont arbitraires, ils sont décidés par des êtres humains, ils peuvent être modifiés. D’ailleurs, il y a plusieurs ensembles d’axiomes, chacun donnant naissance à des mathématiques différentes.

La géométrie, ou plus exactement, les géométries

On peut penser aux 5 axiomes d’Euclide, qu’il appelle postulats :

PostulatsEuclide

Et qui permettent d’étudier la géométrie dite Euclidienne ou plane. Pourquoi plate ?

Tout simplement car elle se déploie dans le plan.

Et justement, si l’on abandonne le 5ᵉ Postulat, alors on voit apparaître deux nouvelles géométries dites non euclidiennes et qui se déploient sur des espaces courbés :

La géométrie sphérique. Imaginer qu’au lieu de faire de la géométrie dans un plan, vous faites maintenant de la géométrie sur une sphère.

La géométrie hyperbolique. Cette fois, imaginer que vous faites de la géométrie sur une selle à cheval.

3Geometries

  1. Géométrie euclidienne, par un point à l’extérieur d’une droite, il passe une droite et une seule parallèle à la droite donnée. (5ᵉ postulat).

  2. Géométrie sphérique, par un point à l’extérieur d’une droite, toute droite passant par ce point est sécante à la droite donnée.

  3. Géométrie hyperbolique, par un point à l’extérieur d’une droite, il existe une infinité de droites passant par ce point et parallèle à la droite donnée.

L’arithmétique des entiers naturels

L’arithmétique des entiers naturels est construite à partir des 9 axiomes de Peano. Fait amusant : le 9ᵉ axiome, qui est le principe de récurrence, est en fait un schéma d’axiomes et consiste donc en une infinité d’axiomes.

La théorie des ensembles (ZFC)

Les mathématiques modernes reposent sur la théorie des ensembles, et cette théorie est basée sur un système d’axiomes appelé ZFC, nommé en hommage aux mathématiciens Zermelo et Fraenkel qui ont contribué au développement de ce système d’axiomes.

Mais alors, que signifie le C dans ZFC ?

Dans cet acronyme, le C signifie “Axiome du choix”.

C’est un axiome qui concerne ce qu’on a le droit de faire avec l’infini et son axiome est extrêmement controversé.

Je laisse Bertrand Russell (1872 – 1970), un des plus grands logiciens de tous les temps, vous l’expliquer :

“Pour choisir une chaussette plutôt que l’autre pour chaque paire d’une collection infinie, on a besoin de l’axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n’est pas la peine”.

Pour choisir une chaussette dans une paire plutôt que l’autre, il faut faire un choix.

Donc la question est, est-ce que vous supposez que vous avez le droit de faire une infinité de choix ?

Pour les chaussures, vous pouvez décider dès le début de toujours prendre la chaussure pour le pied gauche.

Donc au final, vous n’avez fait qu’un seul choix, alors que vous en avez fait une infinité pour les chaussettes.

AxiomofChoice

Et c’est là que vous voyez que tout choix d’axiome est purement arbitraire.

Kurt Gödel anéantit tout espoir de vérité absolue

Après, et c’est là que cela devient fascinant, on peut faire des méta-mathématiques. C’est-à-dire, faire des mathématiques sur les différentes théories mathématiques construites à partir de collections d’axiomes différents. On peut les comparer, les étudier et en déduire des propriétés et des théorèmes.

C’est exactement ce qu’a fait Kurt Gödel avec ces théorèmes d’incomplétude.

Premier théorème d’incomplétude : Toute théorie mathématique consistante qui permet de décrire les entiers naturels est incomplète.

Si vous n’avez rien compris, voilà quelques explications :

Une théorie est consistante ou cohérente, si à l’intérieur de cette théorie, on ne peut pas prouver un énoncé et son contraire. Prouver une chose et son contraire serait la pire chose possible. Imaginer que vous arrivez à la conclusion que 1 = 0 alors même qu’un des fondements de votre théorie est que 1 ≠ 0. À partir de là, vous pourriez prouver tout est n’importe quoi, et donc la notion de vrai et de faux n’auraient plus aucun sens.

Une théorie est incomplète si, à l’intérieur de cette théorie, il existe des énoncés qu’on ne peut ni démontrer, ni réfuter. Cela signifie que ces énoncés sont indépendants de votre théorie. Ce qui est fascinant quand vous rencontrez un énoncé indécidable ; c’est que vous pouvez décider qu’il est vrai et dans ce cas le poser en axiome. Ou alors décider qu’il est faux et dans ce cas, poser la négation de l’énoncé en axiome.

Par exemple, l’axiome du choix est un énoncé indécidable dans la théorie ZF. Les mathématiciens peuvent donc le rajouter à la théorie en tant qu’axiome, mais ils auraient aussi pu ajouter sa négation. Dans les deux cas, cela ne change pas la consistance de la théorie

De manière plus simple, le 5ᵉ postulat d’Euclide est indépendant des 4 autres. Si vous l’acceptez comme axiome, vous obtenez la géométrie euclidienne classique. Si vous prenez sa négation comme axiome, vous obtenez les géométries sphérique et elliptique.

Rappelons le 5ᵉ postulat : Par un point à l’extérieur d’une droite, il passe une droite et une seule parallèle à la droite donnée.

Deuxième théorème d’incomplétude : La consistance d’une théorie F qui permet de décrire les entiers naturels ne peut pas être prouvée à l’intérieur de F.

En pratique, on peut montrer la consistance des entiers naturels (construits sur les axiomes de Peano) à l’intérieur de la théorie des ensembles (ZFC), qui englobe largement les entiers naturels. Et on peut prouver la consistance de ZFC, en considérant la théorie ZFC + “il existe un cardinal inaccessible” (Imaginer un ensemble infini, mais pas n’importe quel infini, une infinité de fois infiniment plus grand que l’infini des entiers naturels)

Voilà les limites d’une théorie mathématique, vous êtes obligé d’utiliser une autre théorie distincte pour prouver la consistance de la première, puis une troisième pour prouver la consistance de la deuxième et comme vous ne pouvez pas boucler (d’après le second théorème de Gödel), vous voilà parti pour justifier la consistance de votre première théorie grâce à une infinité de théories.

Cela vous fait penser à quelque chose ?

Oui, oui, c’est bien une régression à l’infini. Nous voilà de retour au trilemme de Münchhausen.

Ainsi, il semble que la vieille dame avait raison : “Ce sont des tortues jusqu’en bas”.