Imaginez-vous attaché à un arbre…

En face de vous se trouve un archer, son arc est tendu, sa flèche pointe en direction de votre cœur.

C’est la fin…

À moins que…

Une idée saugrenue vous vient à l’esprit.

Pour que la flèche vous atteigne,

Il faudra déjà que la flèche parcoure la moitié de la distance qui vous sépare de l’arc.

Mais avant de parcourir cette distance, il faudra déjà qu’elle parcourt la moitié de cette distance.

Et avant cela, il faudra qu’elle parcourt, la moitié de la précédente distance.

Et avant cela, la moitié de celle d’avant.

Et avant cela, la moitié de celle d’avant.

Voilà votre lueur d’espoir,

Comme la flèche devra parcourir une infinité de moitiés de distances,

Elle devra parcourir une distance infinie

Ainsi, la flèche ne parviendra jamais jusqu’à votre poitrine.

Vous poussez un soupir de soulagement.

À l’instant précis où l’archer lâche la corde,

Voilà que vous avez un second éclair de génie.

La flèche ne doit pas seulement parcourir une infinité de moitiés de distances,

Elle doit faire cela en une infinité de moitiés d’intervalle de temps !

La flèche devra parcourir une distance infinie en un temps infini.

Ça y est, vous voilà persuadé.

Vous êtes sain et sauf.

Une fraction de seconde plus tard,

La flèche vous transperce le cœur,

Vos lèvres ont tout juste assez de forces pour balbutier

“Comment est-ce possible ?”

Avant que vous vous effondriez, Inerte.

Ce paradoxe est un des plus célèbres paradoxes grecs, et est attribué au philosophe Zénon.

On le retrouve sous diverse forme :

  • Le paradoxe d’Achille et de la Tortue

  • Le paradoxe de la dichotomie

  • Le paradoxe de la flèche

Dans tous les cas, le paradoxe est le même :

Comment une distance ou un temps peuvent être finis alors qu’on peut les découper en une infinité de moitiés ?

D’un point de vue physique, ce paradoxe n’est pas résolu.

Car derrière ce paradoxe se pose la question de la nature du temps et de la distance.

Ces quantités sont-elles continues ou discrètes ?

Mathématiquement, cela revient à se demander si l’ensemble qui permet de les représenter est équipotent à $\mathbb{N}$ ou à $\mathbb{R}$.

Et en fait, en fonction de l’hypothèse du continu, il pourrait même exister quelque chose entre le discret et le continu.

Donc attaquons ce problème d’un point de vue purement mathématique.

On découpe un intervalle, que cela soit une distance ou un temps, en une infinité de moitiés et on se dit que la somme de ces infinités de moitiés est infini.

Or cela est complètement faux.

La somme correspondant à prendre la moitié, puis la moitié de la moitié, puis la moitié de la moitié de la moitié, etc.

Mathématiquement, cela revient précisément à calculer : $$\frac{1}{2} +\frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+\dots$$

Or cette somme infinie est égale à …

Un nombre fini.

Le calcul de cette somme infinie est trivial pour quiconque connaissant les séries géométriques.

Néanmoins, détailler et expliquer rigoureusement ce calcul demande d’expliciter les concepts mathématiques sous-jacents, et cela demande un temps non négligeable (mais fini).

Toutefois, le résultat s’intuite très facilement géométriquement.

On prend un carré de côté $1$

Donc l’aire de ce carré vaut $1$

Si on coupe ce carré en deux parties égales et que l’on prend la première moitié de ce carré, on obtient une aire de $\frac{1}{2}$

Si on prend la moitié de la deuxième moitié de ce carré, on obtient une aire de $\frac{1}{4}$

Et en continuant ainsi successivement, on obtient une infinité d’aires dont la somme vaut : $$\frac{1}{2} +\frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+\dots$$

Or cette infinité d’aires recouvre, par construction, l’ensemble du carré.

Et comme ce carré a une aire de $1$ …

On a finalement que :

$$\frac{1}{2} +\frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+\dots=1$$

Plus clairement avec une image :

Sommeinversecarres

Et encore plus clairement avec une vidéo :